Параллельность прямых и плоскостей

Параллельность прямой и плоскости в пространстве

Работу подготовила

Ученица 9-Б класса

МОШ I-III №53

Мильгевская Лера

Учитель: Рудник О. А.

Цели:

• Изучить:

• взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве;
• ввести понятие параллельности прямой и плоскости в пространстве;

• Доказать признак параллельности прямой и плоскости в пространстве;

Три случая взаимного расположения прямых в пространстве

p

l

m

n

p

l

m

n

a

b

a b

Три случая взаимного расположения прямой и плоскости

с

a

b

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Назовите прямые, параллельные данной плоскости

Каково взаимное положение прямых

AB 1 и DC 1 , МN и DC, AB 1 и МN, MN и ВС?

Подготовить пространственную модель куба или параллелепипеда

Теорема

Дано: a ││b, b

Доказать: a ││

a

b

Применим способ от противного

Предположим, что прямая а пересекает плоскость .

Тогда по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая b также пересекает.

Это противоречит условию теоремы:

Значит, наше предположение не верно,

II

Следствие 1 0

a

b

b II a

Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

a II b

Следствие 2 0

b

а

Признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.

Следствие 1 0

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

a

b

b II a

Прямые m и n пресекаются в точке М, А m, B n,

b , a || b.

Каково взаимное расположение прямых b и c?

М

a

В

А

c

Б.Г. Зив «Дидактические материалы по геометрии. 10 класс»

m

n

Точки А, С, M и P лежат в плоскости, а точка В.

Постройте точку пересечения прямой МР с плоскостью АВС. Поясните.

В

С

А

Точки А, С, E и F лежат в плоскости, а точка В.

Постройте точку пересечения прямой EF с плоскостью АВС. Поясните.

С

А

Зив Б.Г. «Дидактические материалы по геометрии для 10 класса»

В

Точки А и В лежат в плоскости, а С в плоскости. Постройте линии пересечения плоскости АВС с плоскостями

и. Поясните.

Зив Б.Г. «Дидактические материалы по геометрии для 10 класса»

, Конкурс «Презентация к уроку»

Класс: 10

Презентации к уроку

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Назад Вперёд

Тип урока: урок повторения, обобщения и систематизации знаний.

Цель урока: повторение и обобщение теоретических знаний по теме; решение задач, связанных с этой темой, базового и повышенного уровней сложностей.

Методы и педагогические приемы: беседа с элементами дискуссии по решению заданий; решение задач; дифференцированный метод обучения

Ход урока

1. Организационный момент. Приветствие. Постановка цели урока.

2. Актуализация знаний учащихся.

1. Теоретическийопрос. Используем таблицу.

Взаимное расположение прямых в пространстве

1.1. один ученик рассказывает о взаимном расположении двух прямых в пространстве;

1.2. второй ученик вспоминает определение параллельных прямых, пересекающихся прямых, скрещивающихся прямых;

1.3.третий учение доказывает признак параллельности прямой и плоскости;

1.4. четвертый ученик повторяет определение параллельных плоскостей, признак параллельных плоскостей.

2.1. По готовым рисункам решаем задачи. Презентация I. (4 слайда)

Перед слайдом IV повторяем теорему об углах с сонаправленными сторонами.

3. Решение задач.

3.1. По мере показа презентации решение задач обсуждается устно, записывается на доске и в тетрадях.

Презентация II. (5 слайдов)

3.2. Самостоятельное решение задач.

I уровень

II уровень

3. Подведение итогов.

Используя слайд 6, проверить выполнения решения задачи I уровня.

4. Задание на дом.

В правильном тетраэдре DABC через середину высоты DH проведено сечение, параллельное плоскости DBC. Найдите площадь сечения, если ребро тетраэдра равно

Дан треугольник MRH. Плоскость, параллельная прямой MK, пересекает MP в точке M 1 , PK – в точке K 1 . Найдите , если .

Дан треугольник ABK, точка M не принадлежит плоскости треугольника; E, D–точки пересечения медиан треугольников MBK и ABM; AK = 14см. Доказать, что ADEK – трапеция. Найти отрезок DE.

Литература.

1. Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Л.С.Киселева, Э.Г. Позняк. Геометрия: учебник для 10–11 класса.
2. В.А.Яровенко. Поурочные разработки по геометрии: 10 класс.
3. А.Замбржицкий. Параллельность прямой и плоскости: система уроков.
4. А.В.Белошинская. Математика: Тематическое планирование уроков подготовки к экзамену.
5. А.П.Ершова, В.В.Голобородько, А.С. Ершова. Самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 10 класса.
6. И.М. Смирнова, В.А.Смирнов. Геометрия. Расстояния и углы в пространстве.
7. Е.В.Потоскуев. Решение задач по стереометрии. Практикум. Подготовка к ЕГЭ.

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве МБОУ СОШ № 63 ШИПИЛОВА Е.С.

Случаи взаимного расположения прямых в пространстве прямые параллельны прямые пересекаются прямые скрещиваются Параллельные прямые в пространстве прямые не пересекаются

α d a b c Определение: Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Параллельность прямых a и b обозначается так: a || b На рисунке прямые a и b параллельны, а прямые a и c , a и d не параллельны.

Параллельность трёх прямых Лемма: Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость. α b a M

Теорема: Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны. α a b с

Способы задания плоскости ● А ● С ● В α а ● М α b а ● О α а b α

Скрещивающиеся прямые Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости а b

α Теорема: Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся. А В D C Допустим, что прямые АВ и С D лежат в некоторой плоскости β .

Параллельность прямой и плоскости Случаи взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве прямая лежит в плоскости прямая и плоскость пересекаются (имеют одну общую точку) прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки α А В α а М а α

Определение: Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. Теорема: Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости. Докажите теорему методом от противного?

Материальные модели отношения параллельности прямой и плоскости Каждое ребро прямоугольного параллелепипеда параллельно плоскостям двух его граней. А прямая, проведённая в грани бруска с помощью рейсмуса – плоскостям трёх граней. Каменщики кладут стену под отвес, шнур которого параллелен плоскостям стены. Если подводная лодка идёт прямолинейно на одной глубине, значит, параллельно поверхности моря.

Докажите еще два утверждения, которые часто используются при решении задач Если плоскость проходит через данную точку, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Параллельность плоскостей Случаи взаимного расположения плоскостей в пространстве плоскости параллельны плоскости пересекаются β α α β

Определение: Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Теорема: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Докажите теорему? α a b β c d M

Параллельные плоскости В параллельных плоскостях размещают перекрытия этажей многоэтажных зданий, стёкла двойных окон, верхние грани лестничных ступенек. Параллельны слои фанеры, пилы, распиливающие бревно на доски, противоположные грани кирпича, швеллера, двутавровой балки и др.

Свойства параллельных плоскостей Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны. Докажите свойства (стр. 21) ?

А теперь небольшой тест! Верно ли утверждение: если две прямые не имеют общих точек, то они параллельны? Точка М не лежит на прямой а. Сколько прямых, не пересекающих прямую а, проходит через точку М? Сколько из этих прямых параллельны прямой а? Прямые а и с параллельны, а прямые a и b пересекаются. Могут ли прямые b и с пересекаться. Могут ли прямые b и c быть параллельны? Прямая а параллельна плоскости α . Верно ли, что эта прямая не пересекает ни одну прямую, лежащую в плоскости α ? Прямая а параллельна плоскости α . Сколько прямых, лежащих в плоскости α , параллельны прямой а? Параллельны ли друг другу эти прямые, лежащие в плоскости α ? Могут ли быть равны два непараллельных отрезка, заключенные между параллельными плоскостями? Две стороны параллелограмма параллельны плоскости α . Параллельны ли плоскость α и плоскость параллелограмма?

Сверим ответы! - ∞ , 1 +,- + ∞ , + - +

Геометрия, 10 класс

Урок №4. Параллельность прямых, прямой и плоскости

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1. Определение параллельных прямых;
2. Теорема о единственности прямой, параллельной данной, проходящей через данную точку;
3. лемма о двух параллельных прямых;
4. теорему о параллельности трех прямых;
5. определение параллельных прямой и плоскости;
6. признаком параллельности прямой и плоскости.

Глоссарий по теме

Определение.

Определение. Скрещивающиеся прямые − прямые, которые не лежат в одной плоскости.

Определение.

Определение.

Основная литература:

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия 10-11 кл.– М.: Просвещение, 2014. 255 с.

Дополнительная литература:

Зив Б. Г. Дидактические материалы. Геометрия 10 кл. – М.: Просвещение, 2014. 96 с.

Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В.Ф. Рабочая тетрадь. Геометрия 10 кл.-М.: Просвещение, 2013. 65 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Геометрия, которую мы изучаем, называется евклидовой, по имени древнегреческого ученого Евклида (3 век до нашей эры), который создал целый труд по математике под названием «Начала». В данной книге есть раздел о параллельных прямых.

В советском энциклопедическом словаре слово «параллельность» переводится с греческого языка, как «идущий рядом».

В средние века параллельность обозначалась знаком «=». В 1557 году Р. Рекордом для обозначения равенства был введен знак «=», которым мы пользуемся сейчас, а параллельность стали обозначать «║».

В книге «Начала» определение параллельных прямых звучало так «прямые, лежащие в одной плоскости и будучи бесконечно продолжены в обе стороны, ни с той, ни с другой стороны не пересекаются». Это определение почти не отличается от современного.

В области параллельных прямых работало очень много учёных: Н.И. Лобаческий (18-19 век); Аббас ал-Джаухари (работал в Багдаде в 9 веке); Фадл ал-Найризи (Богдад 10 век); Герард (Италия 12 век); Иоганн Генрих Ламберт (Берлин) и многие другие.

Каково расположение 2-х прямых на плоскости (совпадают, пересекаются, параллельны) (рис. 1 а, б, в).

Перейдем к взаимному расположению 2-х прямых в пространстве. Как и в планиметрии, две различные прямые в пространстве либо пересекаются в одной точке, либо не пересекаются (не имеют общих точек). Но второй случай допускает две возможности: прямые лежат в одной плоскости (параллельны ) или прямые не лежат в одной плоскости. В первом случае они параллельны, а во втором - такие прямые называются скрещивающимися .

Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Определение. Скрещивающиеся прямые - прямые, которые не лежат в одной плоскости.

Проиллюстрировать данные определения наглядно нам поможет куб.

Давайте укажем некоторые пары параллельных прямых:

AB||A₁B₁; AB|| CD; A₁B₁||C₁D₁; CD||C₁D₁; AD||A₁D₁; BC||B₁D₁; AD||BC; A₁D₁||B₁C₁.

А теперь рассмотрим некоторые пары скрещивающихся прямых, как мы отметили, они не должны лежать в одной плоскости:

AB A₁D₁; AB B₁C₁; CD A₁D₁; CD B₁C₁; BC C₁D₁; BC A₁B₁; AB B₁C₁; AB A₁D₁.

Теорема. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

1. М и а задают плоскость α
2. Прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а, должна лежать в одной плоскости с точкой М и прямой а, т.е. в плоскости α.
3. В плоскости α через точку М проходит прямая, параллельная прямой а, и притом только одна- это нам известно из кураса планиметрии.
4. На чертеже эта прямая обозначена буквой b .
5. Следовательно, b-единственная прямая, проходящая через точку М паралельно прямой а.

Определение. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на паралельных прямых.

Аналогично определяется праралельность отрезка и прямой, а так же паралельность двух лучей.

Лемма. Если одна из двух паралельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

1. Рассмотрим две параллельные прямые a и b и допустим, что прямая b пересекает плоскость α в точке M(а рис.).
2. Мы знаем, что через параллельные прямые a и b можно провести только одну плоскость β. (теорема)

1. Так как точка M находится на прямой b, то M также принадлежит плоскости β (б рис.). Если у плоскостей α и β есть общая точка M, то у этих плоскостей есть общая прямая p, которая является прямой пересечения этих плоскостей (4 аксиома).

1. Прямые a, b и c находятся в плоскости β.

Если в этой плоскости одна из параллельных прямых b пересекает прямую p, то вторая прямая a тоже пересекает p.

1. Точку пересечения прямых a и p обозначим за N.

Так как точка N находится на прямой p, то N находится в плоскости α и является единственной общей точкой прямой a и плоскости α.

1. Значит, прямая a пересекает плоскость α в точке N.

Нам известно из курса планиметрии, что если три прямые лежат в одной плоскости и две из них параллельны третьей, то эти две прямые параллельны. Похожее утверждение имеет место и для трех прямых в пространстве.

Теорема. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Дано: a∥c и b∥c

Доказать: a∥b

Доказательство:

Выберем точку M на прямой b.

Через точку M и прямую a, которая не содержит эту точку, можно провести только одну плоскость α (Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести только одну плоскость).

Возможны два случая:

Пусть прямая b пересекает плоскость α.

Значит, прямая c, которая параллельна прямой b, тоже пересекает плоскость α. Так как a∥c, то получается, что a тоже пересекает эту плоскость. Но прямая a не может одновременно пересекать плоскость α и находиться в плоскости α. Получаем противоречие, следовательно, предположение, что прямая b пересекает плоскость α, является неверным . Значит, прямая b находится в плоскости α.

Теперь нужно доказать, что прямые a и b параллельны.

Пусть у прямых a и b есть общая точка L.

Это означает, что через точку L проведены две прямые a и b, которые параллельны прямой c. Но по второй теореме это невозможно. Поэтому предположение неверное, и прямые a и b не имеют общих точек.

Так как прямые a и b находятся в одной плоскости α и у них нет общих точек, то они параллельны.

Если две точки прямой лежат в данной плоскости, то по аксиоме А₂ вся прямая лежит в этой плоскости. Из этого следует, что возможны три расположения прямой и плоскости:

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Обозначение: a||α.

Наглядный пример, который дает представление о прямой, параллельной плоскости- это линия пересечения стены и потолка-она параллельна плоскости пола.

Теорема (Признак параллельности прямой и плоскости)
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой на этой плоскости, то эта прямая параллельна данной плоскости.

Доказательство:
Доказательство проведем от противного. Пусть a не параллельна плоскости α, тогда прямая a пересекает плоскость в некоторой точке A. Причем A не находится на b, так как a∥b. Согласно признаку скрещивающихся прямых, прямые a и b скрещивающиеся.

Мы пришли к противоречию. Так как согласно данной информации a∥b, они не могут быть скрещивающимися. Значит, прямая a должна быть параллельна плоскости α.

Существует еще два утверждения, которые используются при решении задач:

1. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
2. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо тоже параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Тип задания: Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Дано: в ∆ АВС КМ − средняя линия, КМ=5; ACFE- параллелограмм.

Решение: Т.к. КМ − средняя линия, то АС= 2·КМ, то АС=2·7 =10

Т.к. ACFE − параллелограмм, то АС=EF=10

Ответ: EF=10

Тип задания: Единичный / множественный выбор

Точка М не лежит в плоскости ромба ABCD. На отрезке АМ выбрана точка Е так, что MЕ:ЕА=1:3. Точка F – точка пересечения прямой МВ с плоскостью CDE. Найдите АВ, если AD= 8 cм.

• 1. АВ=2 см
  2. АВ=4 см
  3. АВ=5 см
  4. АВ=10 см

Т.к. AD||BC||FK, следовательно, треугольники MFK и MBC- подобны (по трем углам). Значит

BC=AD= 8 см;

Предмет: геометрия.

Класс : 10

Учитель: Приходько Светлана Ивановна

Тема : « Параллельность прямой и плоскости» (2 урока по 40 мин)

Оборудование урока: мультимедиапроектор, доска, карточки с заданиями для самостоятельной работы, учебник «Геометрия.10-11 классы»/ Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, и др.

Цель: ввести понятия параллельности прямой и плоскости; изучить признак параллельности прямой и плоскости; обобщить и систематизировать знания о взаимном расположении прямой и плоскости.

Задачи:

Создавать условия для контроля (самоконтроля, взаимоконтроля);

Развивать пространственные представления при построении параллельных прямых, прямой и плоскости;

Формировать умение доказывать признак параллельности прямой и плоскости;

Развивать умение использовать теоретический материал при решении задач.

ХОД УРОКА

Организационный этап.

Учитель приветствует учащихся, формулирует цели и задачи урока, сообщает план урока.

Актуализация знаний.

Фронтальная работа с использованием мультимедиапроектора.

Слайд 1.

Слайд 2.

3. Изучение нового материала. (Фронтальная работа.)

Слайд 3.

Наглядное представление о прямой, параллельной плоскости, дают:

Линии электропередач и плоскость земли;

Линия пересечения потолка и стены и плоскость пола.

Слайд 4.

Рассмотрим теорему (признак параллельности прямой и плоскости).

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

а Дано: прямая в лежит в плоскости α.

а║в

Доказать: а║ α

(Доказательство теоремы предложить сделать учащимся самостоятельно, обсудить, предложить доказать у доски, записать в тетрадь. При затруднении можно нажать кнопку указание к доказательству .)

4. Закрепление изученного материала.

Устно (Фронтальная работа)

Слайд 5.

Задача: Дана трапеция ABCD (AB и CD основания). Точка К не принадлежит плоскости трапеции. Докажите, что прямая DC параллельна плоскости (АВК).

По изображаем: 1) трапецию;

2) изображаем плоскость а;

3) изображаем отрезки ВК и КС;

4) записываем: дано, доказать.

Обсуждаем и записываем решение задачи.

Слайд 6.

Задачу решаем устно.

5. Изучение нового. (Работа в группах по 4 человека.)

Рассмотрим два утверждения, которые используются при решении задач.

Слайд 7.

(Доказывают учащиеся, работая в группах.)

Обсуждение работы групп. (Во время работы группы (5-7мин.) учащиеся свои доказательства записывают в тетрадь.) Представитель группы записывает доказательство на доске. Подведение итогов работы группы.

6. Закрепление изученного материала.

Слайд 8.

Слайд 9.

Некоторые слова затерты и поставлены многоточия. В ходе решения вместо многоточия проявляется полное решение задачи.

Задача №23 (учебник).

(На обычной доске).

М Дано: ABCD -прямоугольник, точка М не лежит в

плоскости АВС.

В С Доказать: CD ║ (АВМ).

А D

7
. Решение задач на закрепление изученного материала. (Задание с взаимопроверкой - в парах).

Слайд 10.

8. Работа с учебником.

Задача №27. (Учащийся у доски.)

9. Подведение итогов.

Беседа с учащимися

Расскажите о взаимном расположении прямой и плоскости.

Какая прямая называется параллельной данной плоскости?

Назовите признак параллельности прямой и плоскости.

Что можно сказать о прямой, параллельной плоскости, если нее проходит некоторая плоскость, пересекающая первую плоскость?

Продолжите фразу: если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то…

10. Самостоятельная работа (по вариантам по карточкам).

Вариант 1

Вариант 2

Отрезок АВ не пересекает плоскость α.

Через концы этого отрезка -точки А,В

и его середину (точку М) проведены

параллельные прямые, пересекающие

плоскость α в точках А 1 ,В 1 ,М 1 .

Докажите, что точки А 1 ,В 1 ,М 1 лежат

на одной прямой.

2) Найдите АА 1 ,если ВВ 1 =12см, ММ 1 =8см.

Через конец А отрезка АВ проведена плоскость α.

Через точку М (середину АВ) и точку В

проведены параллельные прямые, пересекающие

плоскость α в точках М 1 и В 1 соответственно.

1) Докажите, что точки А,В 1 ,М 1 лежат

на одной прямой.

2) Найдите ВВ 1 ,если ММ 1 =4см.

Дополнительно: №31 (учебник.)

11. Домашнее задание: теория §1 (теоремы с доказательством), №29,30.